1. 前言 ¶

众所周知，在传统的图像边缘检测算法中，最常用的一种算法是利用 Sobel 算子完成的。Sobel 算子一共有 $2$ 个，一个是检测水平边缘的算子，另一个是检测垂直边缘的算子。

2. Sobel 算子优缺点 ¶

Sobel 算子的优点是可以利用快速卷积函数，简单有效，且对领域像素位置的影响做了加权，可以降低边缘模糊程度，有较好效果。然而 Sobel 算子并没有基于图像的灰度信息进行处理，所以在提取图像边缘信息的时候可能不会让人视觉满意。

3. 手动构造 Sobel 算子 ¶

我们来看一下怎么构造 Sobel 算子？

Sobel 算子是在一个坐标轴的方向进行非归一化的高斯平滑，在另外一个坐标轴方向做一个差分， $kszie\times ksize$ 大小的 Sobel 算子是由平滑算子和差分算子全卷积得到，其中 $ksize$ 代表 Sobel 算子的半径，必须为奇数。

对于窗口大小为 $ksize$ 的非归一化 Sobel 平滑算子等于 $ksize-1$ 阶的二项式展开式的系数，而 Sobel 平滑算子等于 $ksize-2$ 阶的二项式展开式的系数两侧补 $0$ ，然后向前差分。

举个例子：构造一个 $4$ 阶的 Sobel 非归一化的 Sobel 平滑算子和 Sobel 差分算子：

Sobel 平滑算子：取二项式的阶数为 $n=3$ ，然后计算展开式系数为， $[C_3^0, C_3^1, C_3^2, C_3^3]$ 也即是 $[1, 3, 3, 3]$ ，这就是 $4$ 阶的非归一化的 Sobel 平滑算子。

Sobel 差分算子：取二项式的阶数为 $n=4-2=2$ ，然后计算二项展开式的系数，即为： $[C_2^0, C_2^1, C_2^2]$ ，两侧补 $0$ 并且前向差分得到 $[1, 1, -1, -1]$ ，第 $5$ 项差分后可以直接删除。

Sobel 算子：将 $4$ 阶的 Sobel 平滑算子和 Sobel 差分算子进行全卷积，即可得到 $4\times 4$ 的 Sobel 算子。

其中 $x$ 方向的 Sobel 算子为：

$soble_x=\begin{bmatrix} 1 \\3\\3\\1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 &1 &-1& -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &1&-1&-1\\3&3&-3&-3\\3&3&-3&-3\\1&1&-1&-1 \end{bmatrix}$

而 $y$ 方向的 Sobel 算子为：

$sobel_y=\begin{bmatrix} 1 &3&3&1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1 \\1\\-1\\-1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &3&3&1\\1&3&3&1\\-1&-3&-3&-1\\-1&-3&-3&-1 \end{bmatrix}$

4. 代码实现 ¶

const int fac[9]={1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};
//Sobel平滑算子
Mat getSmmoothKernel(int ksize){
    Mat Smooth = Mat::zeros(Size(ksize, 1), CV_32FC1);
    for(int i = 0; i < ksize; i++){
        Smooth.at<float>(0, i) = float(fac[ksize-1]/(fac[i] * fac[ksize-1-i]));
    }
    return Smooth;
}
//Sobel差分算子
Mat getDiffKernel(int ksize){
    Mat Diff = Mat::zeros(Size(ksize, 1), CV_32FC1);
    Mat preDiff = getSmmoothKernel(ksize-1);
    for(int i = 0; i < ksize; i++){
        if(i == 0){
            Diff.at<float>(0, i) = 1;
        }else if(i == ksize-1){
            Diff.at<float>(0, i) = -1;
        }else{
            Diff.at<float>(0, i) = preDiff.at<float>(0, i) - preDiff.at<float>(0, i-1);
        }
    }
    return Diff;
}
//调用filter2D实现卷积
void conv2D(InputArray src, InputArray kernel, OutputArray dst, int dep, Point anchor=Point(-1,-1), int borderType=BORDER_DEFAULT){
    Mat kernelFlip;
    flip(kernel, kernelFlip, -1);
    filter2D(src, dst, dep, kernelFlip, anchor, 0.0, borderType);
}
//先进行垂直方向的卷积，再进行水平方向的卷积
void sepConv2D_Y_X(InputArray src, OutputArray dst, int dep, InputArray kernelY, InputArray kernelX, Point anchor=Point(-1,-1), int borderType=BORDER_DEFAULT){
    Mat Y;
    conv2D(src, kernelY, Y, dep, anchor, borderType);
    conv2D(Y, kernelX, dst, dep, anchor, borderType);
}
//先进行水平方向的卷积，再进行垂直方向的卷积
void sepConv2D_X_Y(InputArray src, OutputArray dst, int dep, InputArray kernelX, InputArray kernelY, Point anchor=Point(-1,-1), int borderType=BORDER_DEFAULT){
    Mat X;
    conv2D(src, kernelX, X, dep, anchor, borderType);
    conv2D(X, kernelY, dst, dep, anchor, borderType);
}
//Sobel算子提取边缘信息
Mat Sobel(Mat &src, int x_flag, int y_flag, int kSize, int borderType){
    Mat Smooth = getSmmoothKernel(kSize);
    Mat Diff = getDiffKernel(kSize);
    Mat dst;
    if(x_flag){
        sepConv2D_Y_X(src, dst, CV_32FC1, Smooth.t(), Diff, Point(-1, -1), borderType);
    }else if(x_flag == 0 && y_flag){
        sepConv2D_X_Y(src, dst, CV_32FC1, Smooth, Diff.t(), Point(-1, -1), borderType);
    }
    return dst;
}
int main(){
    Mat src = imread("../lena.jpg");
    Mat gray;
    cvtColor(src, gray, CV_BGR2GRAY);
    Mat dst1 = Sobel(gray, 1, 0, 3, BORDER_DEFAULT);
    Mat dst2 = Sobel(gray, 0, 1, 3, BORDER_DEFAULT);
    //转8位灰度图显示
    convertScaleAbs(dst1, dst1);
    convertScaleAbs(dst2, dst2);
    imshow("origin", gray);
    imshow("result-X", dst1);
    imshow("result-Y", dst2);
    imwrite("../result.jpg", dst1);
    imwrite("../result2.jpg", dst2);
    waitKey(0);
    return 0;
}