1. 前言 ¶

昨天行云大佬找到我提出了他关于 GiantPandaCV 公众号出版的《从零开始学 YOLOV3》电子书中关于原版本的 YOLOV3 损失的一个质疑，并给出了他的理解。昨天晚上我仔细又看了下原始论文和 DarkNet 源码，发现在 YOLOV3 的原版损失函数的解释上我误导了不少人。所以就有了今天这篇文章，与其说是文章不如说是一个错误修正吧。

2. 在公众号里面的 YOLOV3 损失函数 ¶

在我们公众号出版的 YOLOV3 的 PDF 教程里对原始的 DarkNet 的损失函数是这样解释的，这个公式也是我参照源码（https://github.com/BBuf/Darknet/blob/master/src/yolo_layer.c）进行总结的，。我的总结截图如下：

YOLOV3 损失函数BBuf总结版

其中 $S$ 表示 $grid\ size$ ， $S^2$ 表示 $13\times 13$ , $26\times 26$ , $52\times 52$ 。B 代表 box， $1_{ij}^{obj}$ 表示如果在 $i,j$ 处的 box 有目标，其值为 $1$ ，否则为 $0$ 。 $1_{ij}^{noobj}$ 表示如果 $i,j$ 处的 box 没有目标，其值为 $1$ ，否则为 $0$ 。

BCE（binary cross entropy）的具体公式计算如下： $BCE(\hat(c_i),c_i)=-\hat{c_i}\times log(c_i)-(1-\hat{c_i})\times log(1-c_i)$

另外，针对 YOLOV3，回归损失会乘以一个 $2-w*h$ 的比例系数， $w$ 和 $h$ 代表Ground Truth box的宽高，如果没有这个系数 AP 会下降明显，大概是因为 COCO 数据集小目标很多的原因。

我根据 DarkNet 的源码对每一步进行了梯度推导发现损失函数的梯度是和上面的公式完全吻合的，所以当时以为这是对的，感谢行云大佬提醒让我发现了一个致命理解错误，接下来我们就说一下。

3. 行云大佬的损失函数公式 ¶

接下来我们看一下行云大佬的损失函数公式，形式如下：

行云大佬的YOLOV3 损失函数

可以看到我的损失函数理解和行云大佬的损失函数理解在回归损失以及分类损失上是完全一致的，只有 obj loss 表示形式完全不同。对于 obj loss，我的公式里面是方差损失，而行云大佬是交叉熵损失。那么这两种形式哪一种是正确的呢？

其实只要对交叉熵损失和方差损失求个导问题就迎刃而解了。

4. 交叉熵损失求导数 ¶

推导过程如下：

(1)softmax 函数

首先再来明确一下 softmax 函数，一般 softmax 函数是用来做分类任务的输出层。softmax 的形式为: $S_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_ke^{z_k}}$ 其中 $S_i$ 表示的是第 i 个神经元的输出，接下来我们定义一个有多个输入，一个输出的神经元。神经元的输出为 $z_i = \sum_{ij}x_{ij}+b$ 其中 $w_{ij}$ 是第 $i$ 个神经元的第 $j$ 个权重, b 是偏移值. $z_i$ 表示网络的第 $i$ 个输出。给这个输出加上一个 softmax 函数，可以写成: $a_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_ke^{z_k}}$ , 其中 $a_i$ 表示 softmax 函数的第 $i$ 个输出值。这个过程可以用下图表示:

老年人，手抖，体量一下

(2) 损失函数

softmax 的损失函数一般是选择交叉熵损失函数，交叉熵函数形式为： $C=-\sum_i{y_i lna_i}$ 其中 y_i 表示真实的标签值

(3) 需要用到的高数的求导公式

c'=0(c为常数）
(x^a)'=ax^(a-1),a为常数且a≠0
(a^x)'=a^xlna
(e^x)'=e^x
(logax)'=1/(xlna),a>0且 a≠1
(lnx)'=1/x
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(tanx)'=(secx)^2
(secx)'=secxtanx
(cotx)'=-(cscx)^2
(cscx)'=-csxcotx
(arcsinx)'=1/√(1-x^2)
(arccosx)'=-1/√(1-x^2)
(arctanx)'=1/(1+x^2)
(arccotx)'=-1/(1+x^2)
(shx)'=chx
(chx)'=shx
（uv)'=uv'+u'v
(u+v)'=u'+v'
(u/)'=(u'v-uv')/^2

(4) 进行推导

我们需要求的是 loss 对于神经元输出 $z_i$ 的梯度，求出梯度后才可以反向传播，即是求: $\frac{\partial C}{\partial z_i}$ , 根据链式法则 (也就是复合函数求导法则) $\frac{\partial C}{\partial a_j}\frac{\partial a_j}{\partial z_i}$ ，初学的时候这个公式理解了很久，为什么这里是 $a_j$ 而不是 $a_i$ 呢？这里我们回忆一下 softmax 的公示，分母部分包含了所有神经元的输出，所以对于所有输出非 i 的输出中也包含了 $z_i$ ，所以所有的 a 都要参与计算，之后我们会看到计算需要分为 $i=j$ 和 $i \neq j$ 两种情况分别求导数。

首先来求前半部分： $\frac{\partial C}{ \partial a_j} = \frac{-\sum_jy_ilna_j}{\partial a_j} = -\sum_jy_j\frac{1}{a_j}$

接下来求第二部分的导数：

如果 $i=j$ ， $\frac{\partial a_i}{\partial z_i} = \frac{\partial(\frac{e^{z_i}}{\sum_ke^{z_k}})}{\partial z_i}=\frac{\sum_ke^{z_k}e^{z_i}-(e^{z_i})^2}{(\sum_ke^{z_k})^2}=(\frac{e^z_i}{\sum_ke^{z_k}})(1 - \frac{e^{z_i}}{\sum_ke^{z_k}})=a_i(1-a_i)$
如果 $i \neq j$ ， $\frac{\partial a_i}{\partial z_i}=\frac{\partial\frac{e^{z_j}}{\sum_ke^{z_k}}}{\partial z_i} = -e^{z_j}(\frac{1}{\sum_ke^z_k})^2e^{z_i}=-a_ia_j$ 。

接下来把上面的组合之后得到： $\frac{\partial C}{\partial z_i}$ $=(-\sum_{j}y_j\frac{1}{a_j})\frac{\partial a_j}{\partial z_i}$ $=-\frac{y_i}{a_i}a_i(1-a_i)+\sum_{j \neq i}\frac{y_j}{a_j}a_ia_j$ $=-y_i+y_ia_i+\sum_{j \neq i}\frac{y_j}a_i$ $=-y_i+a_i\sum_{j}y_j$ 。

推导完成!

(5) 对于分类问题来说，我们给定的结果 $y_i$ 最终只有一个类别是 1, 其他是 0，因此对于分类问题，梯度等于： $\frac{\partial C}{\partial z_i}=a_i - y_i$

5. L2 损失求导数 ¶

推导如下：

我们写出 L2 损失函数的公式：

$L2_{loss}=(y_i-a_i)^2$ ，其中 $y_i$ 仍然代表标签值， $a_i$ 表示预测值，同样我们对输入神经元（这里就是 $a_i$ 了，因为它没有经过任何其它的函数），那么 $\frac{\partial C}{\partial z_i}=2（a_i - y_i）$ ，其中 $z_i=a_i$ 。